यदि $\left(2+\frac{x}{3}\right)^{55}$ का $x$ की आरोही घातों में प्रसार करने पर, प्रसार में दो क्रमिक पदों में $x$ की घातें समान हैं, तो यह पद हैं

  • [JEE MAIN 2014]
  • A

    $8$ वाँ तथा $9$ वाँ

  • B

    $7$ वाँ तथा $8$ वाँ

  • C

    $28$ वाँ तथा $29$ वाँ

  • D

    $27$ वाँ तथा $28$ वाँ

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$x$ के घटते घात $(decreasing\,powers)$ में $\left(x^{1 / 2}+\frac{1}{2 x^{1 / 4}}\right)^n$ का प्रसार $(expansion)$ लिखिए. मान लें कि पहले तीन पदों के गुणांकों $(coefficients)$ से अंकगणितीय शंढी $(arithmetic \,progression)$ बनती है। तब प्रसार मे $s$ के पूर्णांक घात $(integer\,powers)$ वालें पदों की संख्य है - -

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${\left( {x + \frac{1}{{2x}}} \right)^{2n}}$ के विस्तार में मध्य पद है

$(1+x)^{20}$ के प्रसार में मध्य पद का गुणांक तथा $(1+ x )^{19}$ के प्रसार में दो मध्य पदों के गुणांकों के योग का अनुपात है ........ |

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यदि धनात्मक पूर्णांकों $r > 1,n > 2$ के लिए ${(1 + x)^{2n}} $ के विस्तार में $x$ की $(3r)$ वीं तथा $(r + 2)$ वीं घांतों के गुणांक समान हों, तब

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माना $2^{(\mathrm{x}-2) \log _2 3}$ की बढ़ती घातों में $\left(\sqrt{2^{\log _2}\left(10-3^x\right)}+\sqrt[5]{2^{(x-2) \log _2 3}}\right)^m$, के द्विपद प्रसार में छठा पद $21$ है। यदि इस प्रसार में दूसरा, तीसरा तथा चौथा द्विपद गुणांक एक $A.P.$ के क्रमशः पहला, तीसरा तथा पाँचवा पद हैं, तो $\mathrm{x}$ के सभी संभव मानों के वर्गों का योग है____________.

  • [JEE MAIN 2023]